La pequeña historia del Ajedrez (I)

El Ajedrez ha sido, desde que era muy pequeño, un juego que me ha fascinado siempre.

Un juego tan "simple", inventado hace muchos siglos, esconde posibilidades infinitas; es, al mismo tiempo, matemáticas, psicología, creatividad, estrategia, táctica, intuición, técnica, iniciativa, defensa, cambio, engaño, error... Es decir, casi me atrevería a decir que la vida es como el Ajedrez, y no al revés.

¿Cuál es su origen?. Muchas culturas se atribuyen su invención y existen muchas leyendas al respecto, aunque hoy en día la hipótesis más aceptada es que tuvo su origen en la India.

De todas las leyendas que circulan sobre su origen recuerdo la que leí hace mucho tiempo en un libro titulado "Cómo jugar y ganar al Ajedrez" y que fue "la biblia del Ajedrez" para mí y mis hermanos en aquellos frecuentemente lluviosos y, por consiguiente, largos días de agosto en Gorliz. En él se explicaba su historia y su evolución a lo largo del tiempo hasta llegar a convertirse en el juego actual, se contaban curiosidades, se explicaba desde cero cómo jugar (piezas, sus movimientos, las aperturas,...) y se reproducían grandes partidas de la historia.

Pues bien, aunque se trata de una historia muy conocida, yo no fui capaz en su momento de entenderla en su completa magnitud cuantitativa, aunque ya sospechaba que ésta era enorme, y en este post trato de llegar a hacerme una idea aproximada de la misma.

Cuenta la leyenda que un rey hindú maravillado por el juego que había inventado un súbdito suyo - el Ajedrez - quiso recompensarle por su ingenio y le concedió un deseo.

El súbdito, tras una profunda reflexión, le dijo: "Mi deseo es que me deis un grano de trigo por la primera casilla del tablero, el doble de esa cantidad por la siguiente, el doble de la segunda por la tercera, el doble de la tercera por la cuarta, y así sucesivamente".

El rey no se podía creer que le pidiera tan poco (debo reconocer que cuando lo leí, yo tampoco - menuda porquería de deseo, pensé) y,  tras preguntarle si estaba seguro de su elección, se lo concedió y dio orden de que se le entregara el trigo solicitado.

Sin embargo, al día siguiente, los contables de la corte se presentaron ante el rey para informarle de que la petición era imposible de cumplir; no sólo no era suficiente con todo el trigo almacenado en los graneros del reino, sino que tampoco sería suficiente con lo almacenado en todos los graneros del mundo.

¿Por qué?, preguntó el rey (me empezaba a caer bien este tipo, porque yo hubiera preguntado lo mismo y me estaban entrando unas enormes ganas de cortar cabezas; si no soy capaz de cumplir este mísero deseo el que es una mierda de rey soy yo). A lo que le contestaron, habían estado haciendo cálculos toda la noche, que para satisfacer esa petición serían necesarios, nada más ni nada menos, que 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, es decir y si no me equivoco, dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

¿Cómo sale esta cifra?:

a) Es bien sabido que el ajedrez se juega sobre un tablero de 8 filas y 8 columnas, es decir, tiene 8 x 8 = 64 casillas o más apropiadamente escaques (según la primera acepción del diccionario de la lengua española, escaque significa: "Cada una de las casillas cuadradas e iguales, blancas y negras alternadamente, y a veces de otros colores, en que se divide el tablero de ajedrez y el del juego de damas").  

b) Conforme a la petición del súbdito habría que sumar 1 grano por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y, así sucesivamente. Por tanto, se trata del sumatorio de potencias de 2, desde i = 0 hasta 63:

c) Para su cálculo, en lugar de sumar el resultado de todas estas potencias de 2, podemos emplear la fórmula que nos permite conocer la suma de los n términos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término (en nuestro caso 1) y la razón de la progresión (en nuestro caso 2). Aplicando esta fórmula a nuestro caso nos daría el siguiente resultado:

d) Utilizando Excel para este cálculo (hay que tener en cuenta que el resultado se mostrará redondeado, ya que Excel sólo tiene 15 dígitos de precisión y el resultado exacto es de 20 dígitos), nos sale:

POTENCIA(2;64) - 1 =  18.446.744.073.709.600.000, que es el valor que utilizaré para posteriores cálculos.

Tres ejemplos para hacernos una idea de lo impresionante de esta cifra:

1. Para hacernos una idea estrictamente cuantitativa de la cantidad de trigo que sería necesaria para atender semejante petición basta con decir que, según la FAO, el pronóstico actual (11 de julio de 2013) para la producción mundial de trigo 2013/14 es de 704,1 millones de toneladas. Si tenemos en cuenta, como he leído por ahí, que un grano de trigo pesa de promedio 35 mg:

18.446.744.073.709.600.000 granos / (704.100.000.000.000 gramos / 0,035 gramos/grano) = 18.446.744.073.709.600.000 granos /  20.117.142.857.142.900 granos = 916,17

Por tanto, el rey debería disponer para satisfacer el deseo de su súbdito de más de 900 veces la producción mundial de trigo prevista para 2013/14.

2. En segundo lugar, para hacernos una idea del esfuerzo económico que le hubiera supuesto al rey satisfacer este deseo, tomando como referencia el PIB español, que es actualmente, más o menos, 1 billón de euros (10 elevado a 12), y si estimamos que el precio medio del trigo se puede situar en este momento entorno a 250 euros/tonelada (es un precio muy variable y no me ha resultado fácil consultarlo):

18.446.744.073.709.600.000 granos * 0,00025 euros/gramo * 0,035 gramos/grano / 1.000.000.000.000 euros = 161,41

De lo que resulta que sería necesario más de 160 veces el PIB español actual.

3. Por último, nada mejor para hacernos una idea más aproximada del resultado que acudir a cifras astronómicas, nunca mejor dicho y perfectamente aplicables a un número de semejante tamaño.

Considerando que la distancia que separa la tierra del sol es de 149.600.000 km (km arriba o abajo) y que cada grano de trigo tiene de promedio una longitud de 8 mm, tal y como también he leído por ahí:

18.446.744.073.709.600.000 granos / 149.600.000.000.000 mm / 8 mm/grano = 986.456,90

Es decir, poniendo semejante cantidad de granos de trigo uno detrás de otro podríamos cubrir casi un millón de veces la distancia de la tierra al sol.

Nada cuenta la leyenda, al menos que yo sepa, sobre lo que le ocurrió al súbdito que había formulado ese deseo, pero los reyes de aquella época no solían tener precisamente un sentido del humor muy "fino" y, por tanto y si esta historia es cierta, me temo que no acabó muy bien para él (por lo menos a mí, cuando terminé de leerla, se me habían pasado las ganas de decapitar a los contables y, en su lugar, me entraron unas tremendas ganas de cortarle la cabeza a él, por "listillo").