domingo, 22 de enero de 2017

Criptografía (XLII): ataque a RSA mediante factorización (I)

Ya he dicho en posts anteriores que la fortaleza del cifrado RSA reside en el elevadísimo coste computacional al que tendrían que enfrentarse quienes pretendan atacar este algoritmo; y referido al caso concreto de la factorización del módulo (n) para hallar sus dos factores primos (p y q), en la enorme cantidad de cálculos a realizar para ello cuando se trata de números lo suficientemente grandes (actualmente se emplea para el módulo un tamaño de 2.048 bits).

Por tanto, se trata de un problema perfectamente resoluble desde un punto de vista matemático, pero inabordable actualmente por la ingente cantidad de tiempo y recursos necesarios.

Comienzo con este post un pequeño repaso a algunos de los métodos de factorización más conocidos para hacernos una idea del esfuerzo que esto conlleva. Para ello, intentaré factorizar mediante estos métodos el módulo del ejemplo que vengo utilizando en esta serie de posts (n = pq = 53 x 997 = 52.841).

- Método de factorización de Fermat:
En nuestro caso:
Aún con un número tan pequeño como módulo nos ha costado realizar 296 iteraciones para conseguir obtener sus dos factores primos, lo que puede parecer que no es mucho, pero este proceso presenta un carácter exponencial en función del tamaño de la entrada (el número a factorizar).

Sin embargo, cabe indicar que este método es muy eficiente cuando los dos factores están cercanos entre sí, o, lo que es lo mismo, cuando están próximos a la raíz cuadrada de n, ya que la factorización se resuelve en muy pocos pasos. Comprobémoslo con el siguiente ejemplo:
Como se observa los dos factores son números primos consecutivos y su factorización mediante este método se resuelve en un único paso, razón por la que es muy recomendable que en RSA los números primos aleatorios (p y q) elegidos como factores del módulo (n) se encuentren separado entre sí una cierta distancia. Ya decía yo en este post que "los números aleatorios son demasiado importantes para dejarlos en manos de azar" :).

No obstante, teniendo en cuenta esto último, que p y q se encuentren separados entre sí una cierta distancia, este método no es eficiente para factorizar el módulo en sus dos factores primos en un tiempo razonable cuando se trata de números lo suficientemente grandes, como digo actualmente se emplean números de 2.048 bits para el módulo (n).

En posteriores posts continuaré con el repaso de otros métodos de factorización, pero ya adelanto que: aunque hay algunos más eficientes que otros ante determinadas circunstancias, se van produciendo mejoras a los ya existentes y van surgiendo otros nuevos, de momento no existe un algoritmo que resuelva esta factorización en tiempo polinomial; lo que constituye el "Santo Grial" de los criptoanalistas para conseguir "romper" el cifrado basado en el algoritmo RSA.

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