sábado, 11 de febrero de 2017

Criptografía (XLVI): RSA y los números primos grandes, ¿"la pescadilla que se muerde la cola"?

Tal y como he venido comentado en la serie de posts dedicados al algoritmo RSA, quizá el criptosistema de clave pública más utilizado en la actualidad, éste se basa en la elección de dos números primos aleatorios lo suficientemente grandes (actualmente del orden de 200 dígitos decimales cada uno de ellos) para generar el par de claves (pública y privada) correspondiente a cada usuario.

También decía en un post anterior que no es trivial conocer si un número lo suficientemente grande es primo o compuesto y que, para ello, podíamos caer en la "tentación" de intentar factorizarlo. Craso error, pues tal y como también he venido insistiendo en esta serie de posts, nos enfrentaríamos precisamente con aquello en lo que se basa la fortaleza de este cifrado: actualmente ésto no es posible en un tiempo mínimamente razonable.

Entonces: ¿Cómo seleccionamos aleatoriamente los dos números primos grandes para generar el par de claves correspondiente a un usuario?, es decir, ¿Cómo "determinamos" que los números primos aleatorios elegidos son primos sin intentar factorizarlos?, ¿Es la "pescadilla que se muerde la cola"?.

Pues no, tal y como también decía en este post, afortunadamente existen algoritmos probabilísticos que nos pueden decir con un alto nivel de confianza si un número dado es primo, aunque no haya certeza matemática (100%) al respecto.

Veamos uno de los tests de primalidad más utilizados, el de Miller-Rabiny algunos ejemplos.

Si no lo he entendido mal, el algoritmo para aplicar este test a un número dado para conocer si éste es primo (con un alto nivel de confianza) o compuesto podría ser el siguiente:
Veamos algunos ejemplos:

1.- Partiendo del ejemplo que vengo utilizando en esta serie de posts: ¿es el 997 un número primo?:

Aunque con un número tan pequeño es trivial conocer si es primo o no (ya sabemos que sí lo es) veamos que ocurre aplicando el test de primalidad de Miller-Rabin:
2.- Pero quizá no sea tan trivial saber si el 286.467.789.841 es un número primo. Veamos que ocurre en esta ocasión.
Y como para demostrar que un número es compuesto no hay mejor demostración que enseñar los factores no triviales cuyo producto da ese número: 298.817 x 958.673 = 286.467.789.841.

3.- Y, finalmente: ¿es el 275.415.303.169 un número primo?:
En este caso, el test nos dice que probablemente (con un muy elevado nivel de confianza) este número es primo, aunque como digo no se trata de un test determinista y por tanto creérselo es una cuestión de fe :), aunque yo sé que efectivamente sí lo es.

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